Question

選修4-5，不等式選講
己知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（I）若關(guān)于x的不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若關(guān)于t的一元二次方程t2-2

6

t+f(m)=0有實根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，可得f（x）的最小值為4．因此，若不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，則[f（x）]_min＜|1-2a|，即4＜|1-2a|，解之即可得到實數(shù)a的取值范圍；
（II）根據(jù)題意，利用一元二次方程根的判別式可得△=（-2

6

）²-4f（m）≥0，化簡得|2m+1|+|2m-3|≤6．再根據(jù)m的取值范圍進行分類討論，分別去絕對值解關(guān)于m的不等式，最后取并集可得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）∵|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
∴f（x）=|2x+1|+|2x-3|的最小值為4，
又∵關(guān)于x的不等式f（x）＜|1-2a|的解集不是空集，
∴[f（x）]_min＜|1-2a|，即4＜|1-2a|，
可得1-2a＜-4或1-2a＞4，解之得a＜-

3

2

或a＞

5

2

．
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

3

2

]∪[

5

2

，+∞）；
（II）關(guān)于t的一元二次方程t2-2

6

t+f(m)=0有實根，
即△=（-2

6

）²-4f（m）≥0，可得f（m）≤6，
∴|2m+1|+|2m-3|≤6，
①當m＜-

1

2

時，不等式可化為（-2m-1）+（-2m+3）≤6，解之得-1≤m≤-

1

2

；
②當-

1

2

≤m≤

3

2

時，不等式可化為（2m+1）+（-2m+3）≤6，
即4≤6，恒成立，故-

1

2

≤m≤

3

2

；
③當m＞

3

2

時，不等式可化為（2m+1）+（2m-3）≤6，解之得

3

2

＜m≤2．
綜上所述，可得-1≤m≤2．
∴實數(shù)m的取值范圍是[-1，2]．

點評：本題給出含有絕對值的函數(shù)，求使不等式解集不是空集的實數(shù)a的取值范圍并討論關(guān)于t的一元二次方程有實數(shù)解的問題．著重考查了絕對值不等式的解法、一元二次方程根的判別式等知識，考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．