Question

已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，當時取得極值.

(I)求的單調(diào)區(qū)間和極大值

(II)證明對任意不等式恒成立.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)單增區(qū)間，單減區(qū)間，極大值；(Ⅱ)見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，由此解得，由已知條件“當時取得極值”可得以及，聯(lián)立方程組解得，寫出函數(shù)的解析式為，然后對函數(shù)求導，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)在實數(shù)集R上的單調(diào)性，并由此得到函數(shù)在處取得極大值；(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減的，可知函數(shù)在區(qū)間上的極大值和極小值，從而由對任意的都有不等式成立，即得結(jié)論.

試題解析：(Ⅰ)由奇函數(shù)的定義，有，

即，∴.

因此，，

由條件為的極值，必有.

故，解得.              4分

因此， ，

，

.

當時，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)；

當時，，故在單調(diào)區(qū)間上是減函數(shù)；

當時，，故在單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù).

∴函數(shù)在處取得極大值，極大值為.            8分

(Ⅱ)由(I)知，是減函數(shù)，

且在上的最大值

在上的最小值

∴對任意恒有                 12分    

考點：1.求函數(shù)的解析式；2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；4.解不等式；5.奇函數(shù)的性質(zhì)