Question

設函數 f (x)＝ax－lnx－3（a∈R），g(x)＝xe^1－x．

          （Ⅰ）若函數 g(x) 的圖象在點 (0,0) 處的切線也恰為 f (x) 圖象的一條切線，求實數    a的值；

          （Ⅱ）是否存在實數a，對任意的 x∈(0,e]，都有唯一的 x₀∈[e^－4,e]，使得 f (x₀)＝g(x) 成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

注：e是自然對數的底數．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1），，所以的圖象在處的切線方程是；2分

設與的圖象切于點，而，

且，解得；  5分

（2），在上單調遞增，在上單調遞減，

且，；      8分

若令，則原命題等價于對于任意，都有唯一的，使得成立．               9分

而，，

①當時，恒成立，所以在上單調遞減，要滿足條件，則必須有，且，無解，所以此時不存在滿足條件的；10分

②當，恒成立，所以在上單調遞減，要滿足條件，則必須有，且，解得，；11分

③當時，在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增，

又，要滿足條件，則，解得，

；   12分

④當時，恒成立，所以在上單調遞增，

又，所以此時不存在滿足條件；   13分

綜上有．   15分

【解析】略