Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x-2，若對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對于給定的實數(shù)a，有一個最小的負(fù)數(shù)M（a），使得x∈[M（a），0]時，-4≤f（x）≤4都成立，則當(dāng)a為何值時，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將用函數(shù)f（x）的表達(dá)式表示出來，再進(jìn)行化簡得：，由此式即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）本小題可以從a的范圍入手，考慮0＜a＜2與a≥2兩種情況，結(jié)合二次的象與性質(zhì)，綜合運用分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．
解答：解：（1）∵
=
=，
∵x₁≠x₂，∴a＞0．∴實數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）．
（2）∵，
顯然f（0）=-2，對稱軸．
①當(dāng)，即0＜a＜2時，，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得，
此時M（a）取較大的根，即，
∵0＜a＜2，∴．
②當(dāng)，即a≥2時，，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得，
此時M（a）取較小的根，即，
∵a≥2，∴．當(dāng)且僅當(dāng)a=2時，取等號．
∵-3＜-1∴當(dāng)a=2時，M（a）取得最小值-3．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．