Question

【題目】如圖，在三棱錐 中， 底面 分別是 的中點(diǎn)， 在 ，且 .

（1）求證： 平面 ；
（2）在線段 上是否存在點(diǎn) ，使二面角 的大小為 ？若存在，求出 的長(zhǎng)；
若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）證明：由 ，
是 的中點(diǎn)，得 ，
因?yàn)? 底面 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
因此 ，又因?yàn)? ，
所以 ，
則 ，即 ，因?yàn)? 底面 ，
所以 ，又 ,
又 ，所以 平面 .
（2）解：假設(shè)滿足條件的點(diǎn) ，存在，
并設(shè) ，以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 為 軸建立空間之間坐標(biāo)系 ，
則 ，
由 ，所以 ，所以 ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
則 ，取 ，得 ，
即 ，設(shè)平面 的法向量為 ，
則 ，取 ，得 ，
即 ，
由二面角 的大小為 ，得 ，
化簡(jiǎn)得 ，又 ，求得 ，于是滿足條件的點(diǎn) 存在，且 .

【解析】(1)根據(jù)題意由線面垂直的性質(zhì)定理即可得到線線垂直，再由已知的線線垂直結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證。(2)根據(jù)題意結(jié)合已知條件根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求出各個(gè)向量的坐標(biāo)，設(shè)出平面AFG和平面AEF的法向量，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出法向量，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求出余弦值進(jìn)而得到t的值于是滿足條件的點(diǎn) G 存在。