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          在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差數(shù)列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比數(shù)列，n=l，2，3，…． 
          (Ⅰ)分別計算a3，a5和a4，a6的值；
          (Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式（將an用n表示）；
          (Ⅲ)設數(shù)列的前n項和為Sn，證明：，n∈N*。 
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          解：(Ⅰ)由已知得。
          (Ⅱ)，，…
          ，…
          ∴猜想：，
          以下用數(shù)學歸納法證明之。
          ①當n=1時，，猜想成立；
          ②當n=k（k≥1，k∈N*）時，猜想成立，即，
          那么
          ，

          ，
          ∴n=k+1時，猜想成立，
          由①②，根據(jù)數(shù)學歸納法原理，對任意n∈N*，猜想成立；
          ∴當n為奇數(shù)時，；
          當n為偶數(shù)時，；
          即數(shù)列{an}的通項公式為。
           (Ⅲ)由(Ⅱ)得，
          顯然；
          當n為偶數(shù)時，



          ；
          當n為奇數(shù)時，



          綜上所述，。
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差數(shù)列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比數(shù)列，n=1，2，3，…．
          （1）分別計算a3，a5和a4，a6的值；
          （2）求數(shù)列{an}的通項公式（將an用n表示）；
          （3）設數(shù)列{
          1
          an
          }          的前n項和為Sn，證明：Sn＜
          4n
          n+2
          ，n∈N*．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2011•東城區(qū)二模）在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n對任意n∈N*都成立．
          （Ⅰ）求a2的取值范圍；
          （Ⅱ）判斷數(shù)列{an}能否為等比數(shù)列？說明理由；
          （Ⅲ）設bn=(1+1)(1+
          1
          2
          )…(1+
          1
          2n
          )          ，cn=6(1-
          1
          2n
          )          ，求證：對任意的n∈N*，
          bn-cn
          an-12
          ≥0          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：北京模擬題
				題型：解答題
			
          

						
          在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=2，不等式(n+1)an≥na2n對任意n∈N*都成立，
          （Ⅰ）求a2的取值范圍；
          （Ⅱ）判斷數(shù)列{an}能否為等比數(shù)列？說明理由；
          （Ⅲ）設，求證：對任意的n∈N*，。 
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2012-2013學年北京市海淀區(qū)北師特學校高三（上）第四次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n對任意n∈N*都成立．
          （Ⅰ）求a2的取值范圍；
          （Ⅱ）判斷數(shù)列{an}能否為等比數(shù)列？說明理由；
          （Ⅲ）設，，求證：對任意的n∈N*，．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2011年北京市東城區(qū)高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n對任意n∈N*都成立．
          （Ⅰ）求a2的取值范圍；
          （Ⅱ）判斷數(shù)列{an}能否為等比數(shù)列？說明理由；
          （Ⅲ）設，，求證：對任意的n∈N*，．
          

			
          

			
          
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