Question

(2007江蘇，20)已知是等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，，．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．

(1)若(m，k是大于2的正整數(shù))，求證：；

(2)若(i是某個(gè)正整數(shù))，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；

(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列?若存在，寫(xiě)出一個(gè)q的值，并加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題設(shè)得 ，，且q≠1． 由得， 所以， ． 故等式成立． (2)(i)證明q為整數(shù)： 由得， 即， 移項(xiàng)得． 因，，得q=i－2，故q為整數(shù)． (ii)證明數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)： 設(shè)是數(shù)列中的任一項(xiàng)，只要討論n＞3的情形． 令， 即， 得． 因q=i－2，當(dāng)i=1時(shí)，q=－1，為－1或0，則k為1或2； 而i≠2，否則q=0，矛盾． 當(dāng)i3時(shí)，q為正整數(shù)，所以k為正整數(shù)，從而． 故數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)． (3)取，，． ． 所以，，成等差數(shù)列．