Question

已知函數(shù)f（x）=

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x³+ax²-bx（a，b∈R），若在y=f（x）圖象上的點(diǎn)（1，-

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）處的切線斜率為-4，
（Ⅰ） 求a，b的值．
（Ⅱ） 求y=f（x）的極大、極小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），由點(diǎn)（1，-

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）在f（x）的圖象上，且該點(diǎn)處的切線斜率為-4，可得a、b的值；
（Ⅱ）由f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0，可得f′（x）＞0或＜0時與f（x）增減關(guān)系，從而求得f（x）的極大值與極小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

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x³+ax²-bx（a，b∈R），∴f′（x）=x²+2ax-b；
又∵y=f（x）圖象上的點(diǎn)（1，-

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）處的切線斜率為-4，∴f′（1）=-4，即1+2a-b=-4①；
∵點(diǎn)（1，-

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）在f（x）圖象上，∴

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+a-b=-

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，即a-b+4=0②；
由①、②解得

a=-1 b=3

；
（Ⅱ）由（1）得f（x）=

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x³-x²-3x，∴f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）；
令f′（x）=0，解得x=-1或x=3；列表如下，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴y=f（x）的極大值為f（x）_極大值=f（-1）=

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，極小值為f（x）_極小值=f（3）=-9．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)切線方程的斜率與研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值問題，是中檔題．