Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2．
（I）求a，b的值；
（II）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由f（x）=x+ax²+blnx，知，由y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2，知，由此能求出a，b．
（II）f（x）的定義域為（0，+∞），由（I）知f（x）=x-x²+3lnx，設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，則=-，由此能證明．
解答：解：（I）∵f（x）=x+ax²+blnx，
∴，
∵y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2，
∴，
解得a=-1，b=3．
（II）f（x）的定義域為（0，+∞），
由（I）知f（x）=x-x²+3lnx，
設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，
則=-，
當0＜x＜1時，g（x）′＞0；當x＞1時，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，1）單調(diào)增加，在（1，+∞）單調(diào)減少．
∴g（x）_max=g（1）=0．
∴g（x）=f（x）-（2x-2）≤0，
∴．
點評：本題考查滿足條件的實數(shù)值的求法，考查不等式的證明．解題要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法的合理運用．