Question

設(shè)命題p：冪函數(shù)f(x)=xa2-2a-3在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減；命題q：函數(shù)g（x）=x²+（2a-1）x+1在(-∞，

1

2

]上是減函數(shù)．若p和q有且只有一個為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q成立的等價條件，然后利用p和q有且只有一個為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：要使冪函數(shù)f(x)=xa2-2a-3在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，則a²-2a-3＜0，解得-1＜a＜3，
∴p：a∈（-1，3）．
函數(shù)g（x）=x²+（2a-1）x+1在（-∞，

1

2

]上是減函數(shù)，
∴

1-2a

2

≥

1

2

，即a≤0．
∴q：a∈（-∞，0]．
當(dāng)p真q假時，a∈（-1，3）∩（0，+∞）=（0，3）；
當(dāng)p假q真時，a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）∩（-∞，0]=（-∞，-1]．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-1]∪（0，3）．

點(diǎn)評：本題主要考查命題的真假判斷和應(yīng)用，利用函數(shù)的性質(zhì)將命題進(jìn)行等價化簡是解決本題的關(guān)鍵．