Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ， ， ，平面底面， ，

和分別是和的中點，求證：

（1）平面；

（2）；

（3）平面平面.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由已知得ABCD是平行四邊形，從而AD∥BE，又AD平面PAD，BE不在平面PAD內(nèi)，即可證得BE∥平面PAD；

（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得PA⊥平面ABCD，故而PA⊥BC；

（3）先證CD⊥平面PAD得出CD⊥PD，故而CD⊥EF，再證四邊形ABED是矩形得出CD⊥BE，從而CD⊥平面BEF，于是平面BEF⊥平面PCD．

試題解析：

（1）∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中點，

∴四邊形ABED為平行四邊形，

∴BE∥AD．

又AD平面PAD，BE不在平面PAD內(nèi)，

∴BE∥平面PAD．

（2）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PA⊥平面ABCD．

∵BC平面ABCD

∴PA⊥BC

（3）在平行四邊形ABED中，AB⊥AD，

∴ABED為矩形，

∴BE⊥CD ①．

由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD

∴AB⊥平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PD．

∵E、F分別為CD和PC的中點，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF ②．

而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．

∵CD平面PCD，

∴平面BEF⊥平面PCD．