Question

具有相同定義域D的函數(shù)和，，若對任意的，都有，則稱和在D上是“密切函數(shù)”.給出定義域均為的四組函數(shù)：、

①

②

③

④

其中,函數(shù)與在D上為“密切函數(shù)”的是_______.

 

Answer 1

【答案】

①④

【解析】

試題分析：①f（x）=x²-x+1，g（x）=3x-2

設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x²-4x+3

h（x）在[1，2]上單調(diào)減，在[2，3]上單調(diào)增

∴h（x）的最大值為0，最小值為-1

∴對任意的x∈[1，3]，都有|f（x）-g（x）|≤1，符合定義

②f（x）=x³+x，g（x）=3x²+x-1

設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=x³+3x²+1

h′（x）=3x²+6x，x∈[1，3]，h′（x）＞0

h（x）在[1，3]上單調(diào)增

∴h（x）的最大值為55，最小值為5，

∴對任意的x∈[1，3]，|f（x）-g（x）|≤1不成立，不符合定義

③f（x）=log₂（x+1），g（x）=3-x

設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）+x-3

h（x）在[1，3]上單調(diào)增

∴h（x）的最大值為2，最小值為-1，

∴對任意的x∈[1，3]，|f（x）-g（x）|≤1不成立，不符合定義

④，

設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=-（）=

∵x∈[1，3]，∴

∴對任意的x∈[1，3]，都有|f（x）-g（x）|≤1，符合定義

故答案為：①④

考點：本題主要考查了新定義題，主要涉及了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值求法等，同時考查計算能力，屬于中檔題

點評：解決該試題的關(guān)鍵是對照新定義，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)的方法確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的值域，利用若對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）和g（x）在D上是“密切函數(shù)”，即可得到結(jié)論