Question

(本小題滿分12分)已知橢圓  的焦點(diǎn)在  軸上，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，離心率等于 ．

（Ⅰ）求橢圓  的方程；

（Ⅱ）過(guò)橢圓  的右焦點(diǎn) 作直線  交橢圓  于 兩點(diǎn)，交  軸于點(diǎn)，若，，求證：  為定值．

Answer 1

(本小題滿分12分)  

【解】（Ⅰ）設(shè)橢圓  的方程為，

則由題意知．              ------------2分

∴ ．即．∴ ．

∴ 橢圓  的方程為．      ^-------4分

（Ⅱ）方法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

又易知點(diǎn)的坐標(biāo)為．          ------------6分

∵ ，∴．

∴ ，．        -------------8分

將點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中得：，

整理得：．  --------------10分

            同理，由可得：．

            ∴ ，是方程的兩個(gè)根，

∴ ．            ^{-----------------12分}

方法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

又易知點(diǎn)的坐標(biāo)為．

顯然直線  存在斜率，設(shè)直線  的斜率為 ，

則直線  的方程是 ．     ------------6分

      將直線  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得

      ．         

      ∴ ，．       ------------8分

又 ∵ ，，

將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得，．     ---------10分

．------12分www..com