Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA-

3

sinA）cosB=0．
（1）求角B的大��；
（2）又若b=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）將cosC=-cos（A+B）代入已知等式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后求出tanB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關系式，將cosB的值代入并利用基本不等式變形求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：1）在△ABC中，C=π-（A+B），
∴cosC=-cos（A+B），
∵cosC+（cosA-

3

sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-

3

sinAcosB=sinAsinB-

3

sinAcosB=sinA（sinB-

3

cosB）=0，
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0，
∴sinB-

3

cosB=0，
∵0＜B＜π，cosB≠0，
∴tanB=

sinB

cosB

=

3

，
∴B=

π

3

；
2）∵b=

3

，
∴b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤3，當且僅當a=c=

3

時取等號，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

acsin

π

3

=

3

4

ac≤

3 3

4

，
則△ABC面積的最大值是

3 3

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理是解本題的關鍵．