Question

設(shè)函數(shù)f（x）=Ax³+Bx²+Cx+6A+B，其中實數(shù)A，B，C滿足：①-8B+1≤12A+4C≤8B+9，②3A＜-B≤6A
（Ⅰ）求證：f′(1)≥

1

4

；f′(-1)≤

9

4

；
（Ⅱ）設(shè)0≤x≤π，求證：f（2sinx）≥0．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題中的兩個不等式，化簡變形得3A+2B+C≥

1

4

，3A-2B+C≤

9

4

．再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，算出f'（1）=3A+2B+C且f'（-1）=3A-2B+C，可得不等式f′(1)≥

1

4

，f′(-1)≤

9

4

成立；
（II）由sinx在0≤x≤π時的值域得：欲原不等式成立，即證明當0≤x≤2時f（x）≥0．再根據(jù)f'（x）=3Ax²+2Bx+C的圖象是開口向上的、關(guān)于直線x=-

B

3A

對稱的拋物線，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)加以分析，利用題中條件進行不等式的放縮和配方，可得：0≤x≤2時f'（x）≥

9

8

f'（1）-

1

8

f'（-1）≥

9

8

×

1

4

-

1

8

×

9

4

=0，得f（x）在區(qū)間[0，2]上為增函數(shù)，從而當0≤x≤2時，f（x）≥f（0）=6A+B≥0．因此得到當0≤x≤π時，原不等式成立．

解答：解：（I）∵-8B+1≤12A+4C≤8B+9
∴3A+2B+C≥

1

4

，3A-2B+C≤

9

4

，
又∵f（x）=Ax³+Bx²+Cx+6A+B，可得f'（x）=3Ax²+2Bx+C
∴f'（1）=3A+2B+C≥

1

4

，f'（-1）=3A-2B+C≤

9

4

，
即不等式f′(1)≥

1

4

，f′(-1)≤

9

4

成立；
（II）當0≤x≤π時，sinx∈[0，1]
因此不等式f（2sinx）≥0等價于當u∈[0，2]時，f（u）≥0
只須證明當0≤x≤2時，f（x）≥0
由條件②：3A＜-B≤6A，可得A＞0且-

B

3A

∈（1，2]
∴f'（x）=3Ax²+2Bx+C是開口向上的拋物線，其對稱軸方程為x=-

B

3A

∈（1，2]
又∵3A＜-B≤6A∴（3A+B）（6A+B）≤0，可得-B²≥18A²+9AB
∴當0≤x≤2時，有f'（x）≥f'（-

B

3A

）=

12AC-4B2

12A

=

3AC-B2

3A

≥

3AC+18A2+9AB

3A

∵

3AC+18A2+9AB

3A

=C+6A+3B=（3A+2B+C）+（3A+B）≥（3A+2B+C）+（-

B

2

）+B≥（3A+2B+C）+

B

2

∴當0≤x≤2時，有
f'（x）≥f'（1）+

1

2

×

1

4

[f'（1）-f'（-1）]≥

9

8

f'（1）-

1

8

f'（-1）≥

9

8

×

1

4

-

1

8

×

9

4

=0
因此，f（x）在區(qū)間[0，2]上為增函數(shù)，
可得當0≤x≤2時，f（x）≥f（0）=6A+B≥0．
綜上所述，當0≤x≤π時，不等式f（2sinx）≥0成立．

點評：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并且證明關(guān)于x的不等式恒成立．著重考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)與不等式恒成立的證明等知識，屬于難題．請同學(xué)們注意解題過程中的轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程的思想，并關(guān)注不等式的證明中放縮的技巧．