Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為，離心率為．

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且P點(diǎn)平分線段AB，求直線AB的方程；

Ⅲ一條動(dòng)直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M，N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為求證：為定值．

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ；Ⅲ見(jiàn)解析

【解析】

Ⅰ設(shè)橢圓方程為，由題意可得b，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；

Ⅱ設(shè)，，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，作差，由直線的斜率公式可得AB的斜率，進(jìn)而得到所求直線方程；

Ⅲ設(shè)，，則，分別討論直線MN的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求定值．

Ⅰ設(shè)橢圓方程為，

即有，即，，即，

由，可得，

則橢圓方程為；

Ⅱ設(shè)，，點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，可得

，，

由，，相減可得

，

可得，

即有直線AB的方程為，化為；

Ⅲ設(shè)，，則，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，即，，

由，的面積為，可得，

即有，，可得；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，

代入橢圓方程，可得，

可得，，

，可得，

，

O到直線l的距離為，

則，

化為，

即有，

，

則，

綜上可得，為定值5．