Question

設(shè)f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

，(a＞0，a≠1)
求證：
（1）過函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點直線的斜率恒大于0；
（2）f（3）＞3．

Answer 1

分析：（1）先用換元法求出函數(shù)f（x）的解析式，要證過函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點直線的斜率恒大于0，只需證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)即可，用單調(diào)性定義可證明；
（2）代入解析式化簡可得，f（3）=a2+

1

a2

+1，運用基本不等式即可證明，注意等號不等取到；

解答：證明：（1）令t=log_ax，則x=a^t，f（t）=

a

a2-1

(at-a-t)（t∈R），
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R），
設(shè)x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)

(a2-1)ax1+x2

，
（1）當a＞1時，因為x₁0，ax1-ax2＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）當0＜a＜1時，因為a²-1＜0，ax1-ax2＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
∴x₁＜x₂時，恒有f（x₁）＜f（x₂），∴K=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
故過函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點直線的斜率恒大于0；
（2）f（3）=

a

a2-1

(a3-a-3)=

a(a6-1)

a3(a2-1)

=

a4+a2+1

a2

=a2+

1

a2

+1≥2

a2• 1 a2

+1=3，
∵a＞0，a≠1，∴a2≠

1

a2

，∴上述不等式不能取等號，
∴f（3）＞3．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求法，考查單調(diào)性的判斷及直線斜率問題，考查基本不等式的應用，具有一定綜合性，屬中檔題．