Question

若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)某一區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且對(duì)[a，b]中任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上是下凸函數(shù)；有以下幾個(gè)函數(shù)：
①f（x）=x²+ax+b，x∈R；
②f(x)=x+

1

x

，x∈(0，+∞)；
③f（x）=sinx，x∈[0，2π）；
④f(x)=tanx，x∈(-

π

2

，

π

2

)；
⑤f(x)=log

1

2

x，x∈(0，+∞)．
其中是下凸函數(shù)的是

①②⑤

．

Answer 1

分析：由已知中下凸函數(shù)的定義，我們可以判斷出下凸函數(shù)的圖象形狀，根據(jù)二次函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)，正弦函數(shù)，正切函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一比照后可得答案．

解答：解：由已知中下凸函數(shù)的定義，可得下凸函數(shù)的圖象形狀可能為：
或或
可得函數(shù)f（x）=x²+ax+b，x∈R為下凸函數(shù)
函數(shù)f(x)=x+

1

x

，x∈(0，+∞)為下凸函數(shù)
函數(shù)f（x）=sinx，x∈[π，2π）為下凸函數(shù)，函數(shù)f（x）=sinx，x∈[0，2π）不為下凸函數(shù)；
函數(shù)f(x)=tanx，x∈(0，

π

2

)為下凸函數(shù)，函數(shù)f(x)=tanx，x∈(-

π

2

，

π

2

)不為下凸函數(shù)
函數(shù)f(x)=log

1

2

x，x∈(0，+∞)為下凸函數(shù)
故答案為：①②⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正切函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的圖象，其中根據(jù)下凸函數(shù)的定義判斷出下凸函數(shù)的圖象形狀是解答本題的關(guān)鍵．