Question

關于y=f（x），給出下列五個命題：
①若f（-1+x）=f（1+x），則y=f（x）是周期函數；
②若f（1-x）=-f（1+x），則y=f（x）為奇函數；
③若函數y=f（x-1）的圖象關于x=1對稱，則y=f（x）為偶函數；
④函數y=f（1+x）與函數y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱；
⑤若f（1-x）=f（1+x），則y=f（x）的圖象關于點（1，0）對稱．
填寫所有正確命題的序號

①③

．

Answer 1

分析：根據周期函數的定義進行判定選項①的真假，根據函數的對稱性進行判定選項②④⑤的真假，根據函數的奇偶性判定選項③的真假，從而得到結論．

解答：解：①若f（-1+x）=f（1+x），則f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期函數，周期為2，故①正確；
②若f（1-x）=-f（1+x），則f（x+1）+f（1-x）=0∴y=f（x）關于點（1，0），故②不正確；
③若函數y=f（x-1）的圖象關于x=1對稱，則f（x）的圖象關于y軸對稱，故y=f（x）為偶函數，故③正確；
④函數y=f（1+x）與函數y=f（1-x）的圖象關于直線x=1對稱，設y=f（x）=x，則y=f（1-x）=1-x，y=f（x+1）=x+1，是關于x=0對稱；④不正確；
⑤若f（1-x）=f（1+x），則y=f（x）的圖象關于x=1對稱，故⑤不正確．
故答案為：①③

點評：本題主要考查了函數的周期性，以及函數的對稱性和函數圖象與性質，考查的知識點較多，屬于基礎題．