Question

已知向量滿足，其中k＞0，
（1）試用k表示，并求出的最大值及此時(shí)的夾角為θ的值；
（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，求實(shí)數(shù)λ，使的值最小，并對(duì)這一結(jié)果作出幾何解釋．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得=-（ ），利用基本不等式可得 =，故 ≤-，此時(shí)，
=-=1×1cosθ，θ=120°．
（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，=-=，故當(dāng)λ= 時(shí)，的最小值等于 ，
這一結(jié)果的幾何解釋：平行四邊形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，當(dāng)且僅當(dāng)OC=時(shí)，對(duì)角線OB最短為．
解答：解：（1）∵||=||=1，，
∴-2k+=3k² +6k+3 ，∴1-2k+k²=3k²+6k+3，
∴=-（ ）．∵=，
∴≤-，當(dāng)且僅當(dāng)，即k=1時(shí)，取等號(hào)．
此時(shí)，=-=1×1cosθ，∴θ=120°．
（2）當(dāng)取得最大值時(shí)，=-，===，
故當(dāng)λ= 時(shí)，的最小值等于=，
這一結(jié)果的幾何解釋：平行四邊形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，當(dāng)且僅當(dāng)OC=時(shí)，對(duì)角線OB最短為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，基本不等式的應(yīng)用，是一道中檔題．