Question

設(shè)f(x)=

x

x+1

，定義f₁（x）=f（x），f₂（x）=f₁（f（x）），f₃（x）=f₂（f（x）），…，f_n（x）=f_n-1（f（x）），（n≥2，n∈N）則f₁₀₀（x）=1的解為x=

 

．

Answer 1

分析：觀察所給的前四項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，先觀察分子，只有一項(xiàng)組成，并且沒有變化，在觀察分母，有兩部分組成，是一個(gè)一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的變化特點(diǎn)，得到f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

nx+1

；從而得出結(jié)果．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

x

x+1

觀察：
f₁（x）=f（x）=

x

x+1

，
f₂（x）=f₁（f（x））=

x

2x+1

；
f₃（x）=f₂（f（x））=

x

3x+1

f₄（x）=f₃（f（x））=

x

4x+1

所給的函數(shù)式的分子不變都是x，
而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數(shù)分別是x，2x，3x，4x…nx，
第二部分的數(shù)1
∴f_n（x）=f_n-1（f（x））=

x

nx+1

；
∴f₁₀₀（x）=

x

100x+1

=1；
∴x=-

1

99

．
故答案為：-

1

99

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，實(shí)際上本題考查的重點(diǎn)是給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，本題是一個(gè)綜合題目，知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的比較巧妙．