Question

直線l：y=mx+1，雙曲線C：3x²-y²=1，問(wèn)是否存在m的值，使l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．

Answer 1

解：假設(shè)存在m值滿足條件，
設(shè)A、B坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），
由得：（3-m²）x²-2mx-2=0，
則3-m²≠0，且△=4m²-4（3-m²）（-2）＞0，得m²＜6且m²≠3①，
由韋達(dá)定理有：，，
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，即，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（mx₁+1）（mx₂+1）=0，即（1+m²）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
所以（1+m²）+m+1=0，解得m=±1，
故存在m=1或m=-1使l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．
分析：假設(shè)存在m值滿足條件，設(shè)A、B坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消掉y后得x的二次方程，有△＞0，由以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)得OA⊥OB，即，從而可轉(zhuǎn)化為關(guān)于A、B坐標(biāo)的關(guān)系式，由直線方程可進(jìn)一步化為x₁，x₂的式子，將韋達(dá)定理代入即可得m的方程，解出m后檢驗(yàn)是否滿足△＞0即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，解決本題的關(guān)鍵是正確理解“以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)”并能合理轉(zhuǎn)化．