Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限的一點，B也在橢圓上，且滿足

OA

+

OB

=

0

（O為坐標(biāo)原點），

AF2

•

F1F2

=0，且橢圓的離心率為

2

2

．
（1）求直線AB的方程；
（2）若△ABF₂的面積為4

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由

OA

+

OB

=0知直線AB過原點，且A、B關(guān)于原點對稱，由

AF2

•

F1F2

=0，可得A點的橫坐標(biāo)為x=c，再利用橢圓的離心率為

2

2

，即可求得A點的坐標(biāo)，從而利用點斜式寫出直線AB的方程即可；（2）將△ABF₂的面積分成兩份，以O(shè)F₂為公共底邊，則高即為A、B縱坐標(biāo)之差，列方程即可解得c值，進(jìn)而求得a²，b²，確定橢圓方程

解答：解：（1）由

OA

+

OB

=0知直線AB過原點，
又

AF2

•

F1F2

=0，∴

AF2

⊥

F1F2

∴A點的橫坐標(biāo)為x=c，代入橢圓方程得A點縱坐標(biāo)為y=

(1- c2 a2 )×b2

又∵橢圓的離心率為

2

2

，即

c

a

=

2

2

∴y=

b2 2

=

a2-c2 2

=

2c2-c2 2

=

2

2

c
即A（c，

2

2

c），∴直線AB的斜率為

2 2 c

c

=

2

2

∴直線AB的方程為y=

2

2

x
（2）由對稱性知S_△ABF2=

1

2

×|OF₂|×|y_A-y_B|
=

1

2

×c×

2

c=4

2

解得c²=8，∴a²=16，b²=a²-c²=8
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1

點評：本題主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用和求法，橢圓的幾何性質(zhì)如離心率、對稱性等的應(yīng)用，向量在解析幾何中的應(yīng)用，直線方程的求法，由一定難度