Question

在極坐標(biāo)系內(nèi)，已知曲線(xiàn)的方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/34/5/g8khb1.png" style="vertical-align:middle;" />正半軸方向，利用相同單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
(1) 求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程以及曲線(xiàn)的普通方程；
(2) 設(shè)點(diǎn)為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，求這兩條切線(xiàn)所成角余弦值的取值范圍.

Answer 1

(1),;(2)

解析試題分析：本小題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系以及有關(guān)距離等知識(shí)內(nèi)容.(1)利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式直接轉(zhuǎn)化求圓的方程，利用消掉參數(shù)的方法得到直線(xiàn)的普通方程；（2）首先確定兩切線(xiàn)成角最大的情況，借助點(diǎn)到直線(xiàn)的距離和二倍角公式探求余弦值最小，進(jìn)而得到取值范圍.
試題解析：(1) 對(duì)于曲線(xiàn)的方程為，
可化為直角坐標(biāo)方程，即；
對(duì)于曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），可化為普通方程.    (5分)
(2) 過(guò)圓心點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，此時(shí)兩切線(xiàn)成角最大，即余弦值最小. 則由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知，
，則，因此，
因此兩條切線(xiàn)所成角的余弦值的取值范圍是.                       (10分) 
考點(diǎn)：(1)極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化;(2)直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系;(3)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.