Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+m．
（1）試用定義證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）若關于x的不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在區(qū)間[1，2]上有解，求m的取值范圍．參考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）

Answer 1

【答案】
（1）證明：任取x1，x2，且0＜x1＜x2

則

因為0＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0， x∈

即f（x2）﹣f（x1）＞0

所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

（2）解：不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在區(qū)間[1，2]上有解，即不等式m≥3x2﹣3x在區(qū)間[1，2]上有解，

即m不小于3x2﹣3x在區(qū)間[1，2]上的最小值因為[1，2]時， ，所以m的取值范圍是[0，+∞）．

【解析】1、由定義正明函數(shù)的增減性可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)。
2、由題意可得不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在區(qū)間[1，2]上有解，即不等式m≥3x2﹣3x在區(qū)間[1，2]上有解，即m不小于3x2﹣3x在區(qū)間[1，2]上的最小值因為[1，2]時， ∈ [ 0 ， 6 ] ，所以m的取范圍是[0，+∞）.
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．