Question

如圖（1），在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C=90°，CD=2AB=2，∠D=60°，E為DC中點，將四邊形ABCE繞直線AE旋轉90°得到四邊形AB′C′E，
如圖（2）．
（I）求證：EA⊥B′B；
（II）線段B′C′上是否存在點M，使得EM∥平面DB′B，若存在，確定點M的位 置；若不存在，請說明理由；
（III）求平面CB′D與平面BB′A所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）通過證明EA⊥平面ABB′，然后證明EA⊥B′B；
（II）存在．當M為B′C′的中點時，EM∥平面DB′B．利用直線與平面平行的判定定理證明即可；
（III）通過建立空間直角坐標系，求出平面CB′D與平面BB′A的法向量，利用斜率的數(shù)量積求出兩個平面所成的銳二面角的大�。�
解答：解：（Ⅰ）證明：∵CD=CD=2AB=2，∴CE=AB，又AB∥CD，且∠C=90°，∴四邊形ABCD為矩形．∴AB⊥EA，EA⊥AB′，又AB∩B′=A，∴EA⊥平面ABB′，
∵BB′?平面ABB′，∴EA⊥B′B；
（Ⅱ）解：存在．當M為B′C′的中點時，EM∥平面DB′B．理由如下：設AE與BD交于N，連結B′N．
∵AB∥DE且AB=DE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，∴N為AE的中點．
∵M為B′C′中點，四邊形AB′C′E為矩形，∴MB′∥EN，MB′=EN．
∴四邊形MB′NE為平行四邊形，∴EM∥B′N，
又∵EM?平面DBB′，B′N?平面DBB′，
∴EM∥平面DB′B．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知DH⊥底面AB′C′E⊥平面ABCD，建立空間直角坐標系，E-xyz，如圖所示
則D（1，0，0），B′0，，1），E（0，0，0），C（-1，0，0）
所以=（-1，，1），=（-2，0，0）
設面DCB′的法向量為=（x，y，z），則，⇒
不妨設=（0，1，）…（10分）
設面AB′B的法向量=（0，1，0），
所以cos==
所以平面CB′D與平面BB′A所成的銳二面角的大小為60°…（12分）．
點評：本題考查直線與平面的垂直與平行的判定定理的應用，二面角的求法，考查空間想象能力與計算能力．