Question

【題目】如圖1所示的平面圖形中，ABCD是邊長為2的正方形，△HDA和△GDC都是以D為直角頂點的等腰直角三角形，點E是線段GC的中點．現(xiàn)將△HDA和△GDC分別沿著DA，DC翻折，直到點H和G重合為點P．連接PB，得如圖2的四棱錐．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣D大�。�

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接EO，因為四邊形ABCD是正方形，所以O為AC的中點，

又因為E為PC中點，所以EO為△CPA的中位線，所以EO∥PA

因為EO平面EDB，PA平面EDB

所以PA∥平面EDB

（Ⅱ）由題意有PD⊥DC，PD⊥DA，AD⊥CD，故DA，DC，DP兩兩垂直

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz

則D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），

A（2，0，0），C（0，2，0）

由題知PD⊥平面ABCD

又因為AC平面ABCD，所以AC⊥PD，

又AC⊥BD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，所以平面PBD的法向量是

設平面PBC的法向量 =（x，y，z），

由于 ，

則 ，所以

令z=1，得 =（0，1，1）

則cos＜ ＞= = = ，

由圖可知求二面角C﹣PB﹣D的平面角為銳角，

所以二面角C﹣PB﹣D的大小為60o

【解析】（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接EO，推導出EO∥PA，由此能證明PA∥平面EDB．（Ⅱ）由題意知DA，DC，DP兩兩垂直，以D為原點建立空間直角坐標系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的大小．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．