Question

（2012•懷化二模）在銳角三角形中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，向量

m

=（2sinB，2-cos2B），

n

=（1+sinB，-1），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，且三角形的面積為

3 3

2

，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩斜率垂直時(shí)滿足的關(guān)系式，由兩斜率坐標(biāo)列出關(guān)系式，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后求出sinB的值，由B為銳角，即可確定出B的度數(shù)；
（2）由B及sinB的值，以及已知的面積，利用面積公式列出關(guān)系式，再利用余弦定理列出關(guān)系式，聯(lián)立求出a+c的值即可．

解答：解：（1）∵向量

m

=（2sinB，2-cos2B），

n

=（1+sinB，-1），且

m

⊥

n

，
∴2sinB（1+sinB）-（2-cos2B）=0，即2sinB+2sin²B-2+cos2B=2sinB+2sin²B-2+1-2sin²B=2sinB-1=0，即sinB=

1

2

，
∵B為銳角，∴B=30°；
（2）∵sinB=

1

2

，b=

3

，S=

3 3

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

1

4

ac=

3 3

2

，即ac=6

3

，由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-

3

ac=a²+c²-18，即a²+c²=21，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=21+12

3

，
則a+c=

21+12 3

=2

3

+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，熟練掌握定理及法則是解本題的關(guān)鍵．