Question

已知直線l的參數(shù)方程為：

x=-2+tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程；
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

4

時(shí)，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式求得曲線C的直角坐標(biāo)方程為 （x+1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

4

時(shí)，直線l的方程為

x=-2+ 2 2 t y= 2 2 t

，化成普通方程，并和曲線C的方程聯(lián)立方程組，求得它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2y-2x，
標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x+1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

4

時(shí)，直線l的方程為

x=-2+ 2 2 t y= 2 2 t

，化成普通方程為y=x+2．
由

x2+y2=2y-2x y=x+2

，解得

x=0 y=2

，或

x=-2 y=0

．
∴直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為

4+4

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，求兩個(gè)曲線的交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．