Question

對于任意的實數(shù)a、b，記max．設(shè)F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中g(shù)（x）=，y=f（x）是奇函數(shù)．當x≥0時，y=f（x）的圖象與g（x）的圖象如圖所示．則下列關(guān)于函數(shù)y=F（x）的說法中，正確的是（ ）

A．y=F（x）有極大值F（-1）且無最小值
B．y=F（x）為奇函數(shù)
C．y=F（x）的最小值為-2且最大值為2
D．y=F（x）在（-3，0）上為增函數(shù)

Answer 1

【答案】分析：先由圖象觀察求出當x＞0時的表達式f（x）=a（x-1）²-2，其中a＞0，不妨取a=1；因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以當x=0時，f（0）=0；當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（x+1）²+2．因此，，分別畫出y=f（x）及y=g（x）的圖象，即可得出函數(shù)y=F（x）的圖象及表達式，進而可求出函數(shù)y=F（x）的有關(guān)性質(zhì)．
解答：解：當x＞0時，由圖象可知：函數(shù)y=f（x）是二次函數(shù)的一部分，并且知道頂點為（1，-2），不妨取a=1，可得f（x）=（x-1）²-2；
∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，∴當x＜0時，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-（x+1）²+2；易知f（0）=0；
∴
分別畫出y=f（x）及y=g（x）的圖象，
①當x＞0時，由，解得x=；
②當x＜0時，由，解得；
由F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），可得函數(shù)F（x）的圖象及表達式
F（x）=，
1°當x＞時，顯然F（x）=（x-1）²-2單調(diào)遞增，故此時無最大值；
2°當時，F(xiàn)（x）=單調(diào)遞增，所以；
3°當時，F(xiàn)（x）=-（x+1）²+2，有F^′（x）=-2x-2，令F^′（x）=0，則x=-1，易知，當x=-1時，F(xiàn)（x）有極大值F（-1）；
4°當時，F(xiàn)（x）=單調(diào)遞增，故F（x）．

綜上可知：y=F（x）既無最大值，也無最小值，但有極大值F（-1），而在上單調(diào)遞增，在[-1，0]上單調(diào)遞減．
故應(yīng)選A．
點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想方法．