Question

已知常數(shù)a≠0，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）若，且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若，數(shù)列{c_n}滿足：，對(duì)于任意給定的正整數(shù)k，是否存在p，q∈N^*，使c_k=c_p•c_q？若存在，求p，q的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
∴S_n=na_n-an（n-1），a_n+1=S_n+1-S_n，…（2分）
∴a_n+1=[（n+1）a_n+1-a（n+1）n]-[na_n-an（n-1）]
化簡得：a_n+1-a_n=2a（常數(shù)），
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為2a的等差數(shù)列；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=1+2a（n-1），
又∵，b_n＜b_n+1，
∴，
∴（-1）ⁿ[1+（2n-1）a]＜3ⁿ
①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，∵-[1+（2n-1）a]＜3ⁿ，
∴，n=1，3，5，7，…
令，
∴a＞f（n）_max
∵
∴f（1）＞f（3）＞f（5）＞…＞f（n）＞…，且f（1）=-4，
∴a＞-4；…（7分）
②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，
∵1+（2n-1）a＜3ⁿ，
∴，n=2，4，6，8，…
令，
∴a＜g（n）_min
∵
∴g（2）＜g（4）＜g（6）＜…＜g（n）＜…，且，
∴；
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，a_n=n，又∵，
設(shè)對(duì)任意正整數(shù)k，都存在正整數(shù)p，q，使c_k=c_pc_q，
∴，
∴…（12分）
令q=k+1，則p=k（k+2012）（或q=2k，p=2k+2011）
∴c_k=c_{k（k+2012）}•c_k+1（或c_k=c_2k+2011•c_2k）…（16分）
分析：（Ⅰ）由已知利用a_n+1=S_n+1-S_n，代入整理化簡得：a_n+1-a_n=2a（常數(shù)），可證
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=1+2a（n-1），，結(jié)合b_n＜b_n+1，可得（-1）ⁿ[1+（2n-1）a]＜3ⁿ①當(dāng)n是奇數(shù)②當(dāng)n是偶數(shù)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性及恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)換可求a的范圍
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，假設(shè) 滿足c_k=c_pc_q，代入整理可得可求
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了由數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推公式證明等差數(shù)列，及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（最小）項(xiàng)的問題及恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化．