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        1. 已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且數(shù)學(xué)公式
          (1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
          (2)若數(shù)學(xué)公式,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)若數(shù)學(xué)公式,數(shù)列{cn}滿足:數(shù)學(xué)公式,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在,說明理由.

          解:(Ⅰ)∵
          ∴Sn=nan-an(n-1),an+1=Sn+1-Sn,…(2分)
          ∴an+1=[(n+1)an+1-a(n+1)n]-[nan-an(n-1)]
          化簡得:an+1-an=2a(常數(shù)),
          ∴數(shù)列{an}是以1為首項,公差為2a的等差數(shù)列;…(4分)
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知an=1+2a(n-1),
          又∵,bn<bn+1,

          ∴(-1)n[1+(2n-1)a]<3n
          ①當(dāng)n是奇數(shù)時,∵-[1+(2n-1)a]<3n,
          ,n=1,3,5,7,…

          ∴a>f(n)max

          ∴f(1)>f(3)>f(5)>…>f(n)>…,且f(1)=-4,
          ∴a>-4;…(7分)
          ②當(dāng)n是偶數(shù)時,
          ∵1+(2n-1)a<3n,
          ,n=2,4,6,8,…
          ,
          ∴a<g(n)min

          ∴g(2)<g(4)<g(6)<…<g(n)<…,且,
          ;
          綜上可得:實(shí)數(shù)a的取值范圍是.…(10分)
          (Ⅲ)由(Ⅰ)知,an=n,又∵,
          設(shè)對任意正整數(shù)k,都存在正整數(shù)p,q,使ck=cpcq,
          ,
          …(12分)
          令q=k+1,則p=k(k+2012)(或q=2k,p=2k+2011)
          ∴ck=ck(k+2012)•ck+1(或ck=c2k+2011•c2k)…(16分)
          分析:(Ⅰ)由已知利用an+1=Sn+1-Sn,代入整理化簡得:an+1-an=2a(常數(shù)),可證
          (Ⅱ)由(Ⅰ)知an=1+2a(n-1),,結(jié)合bn<bn+1,可得(-1)n[1+(2n-1)a]<3n①當(dāng)n是奇數(shù)②當(dāng)n是偶數(shù),結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性及恒成立與最值的相互轉(zhuǎn)換可求a的范圍
          (Ⅲ)由(Ⅰ)可得,假設(shè) 滿足ck=cpcq,代入整理可得可求
          點(diǎn)評:本題綜合考查了由數(shù)列的和與項的遞推公式證明等差數(shù)列,及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大(最小)項的問題及恒成立與最值求解的相互轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}前n項和為Sn,且Sn=an2-(a-1)n
          (Ⅰ)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
          (Ⅱ)若an≤2n3-13n2+11n+1對任意的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (Ⅲ)若a=
          1
          2
          ,數(shù)列{cn}滿足:cn=
          an
          an+2012
          ,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使得ck=cp•cq?若存在,求出p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且an=
          Sn
          n
          +a(n-1)

          (1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
          (2)若bn=3n+(-1)nan,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)若a=
          1
          2
          ,數(shù)列{cn}滿足:cn=
          an
          an+2011
          ,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省宿遷市泗陽縣致遠(yuǎn)中學(xué)高一(上)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷(奧數(shù)班)(解析版) 題型:解答題

          已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}前n項和為Sn,且
          (Ⅰ)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
          (Ⅱ)若對任意的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (Ⅲ)若,數(shù)列{cn}滿足:,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使得ck=cp•cq?若存在,求出p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省徐州市邳州市運(yùn)河中學(xué)高三(上)12月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(1)(解析版) 題型:解答題

          已知常數(shù)a≠0,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且
          (1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
          (2)若,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)若,數(shù)列{cn}滿足:,對于任意給定的正整數(shù)k,是否存在p,q∈N*,使ck=cp•cq?若存在,求p,q的值(只要寫出一組即可);若不存在,說明理由.

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