Question

已知拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N．
（1）求證：直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn)，并寫(xiě)出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別以AB和CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點(diǎn)H的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)已知條件求出直線(xiàn)MN的方程，直線(xiàn)MN是直線(xiàn)系，即可得到直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)，問(wèn)題得到證明；
（2）求出以AB和CD為直徑的圓的方程，然后求兩圓相交弦的直線(xiàn)方程，說(shuō)明公共弦過(guò)原點(diǎn)O．∠OHT=90°．
得到點(diǎn)H的軌跡是以O(shè)T為直徑的圓（除去直徑的兩個(gè)端點(diǎn)）即可．

解答：解：（1）設(shè)AB斜率為k，將AB方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求得M(

k2+2

k2

，

2

k

)，將k換為-

1

k

得N（2k²+1，-2k），由兩點(diǎn)式得MN方程為（1-k²）y=k（x-3），則直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)T（3，0）；…（7分）
（2）由拋物線(xiàn)性質(zhì)，以AB、CD為直徑的⊙M、⊙N的半徑分別為x_M+1，x_N+1，于是可得兩圓方程分別為(x-xM)2+(y-yM)2=(xM+1)2和(x-xN)2+(y-yN)2=(xN+1)2，
兩式相減可得其相交弦所在直線(xiàn)方程為
（x_M-x_N）x+（y_M-y_N）y=

1

2

(yM2-yN2)-(xM-xN)=

1

2

(

4

k2

-4k2)-(

2

k2

-2k2)=0，
則公共弦過(guò)原點(diǎn)O．所以∠OHT=90°．
于是，點(diǎn)H的軌跡是以O(shè)T為直徑的圓（除去直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），
其軌跡方程為(x-

3

2

)2+y2=

9

4

(y≠0)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)系方程的應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．