Question

已知圓O:交軸于A，B兩點(diǎn),曲線C是以為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn),連結(jié)PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線X＝-2于點(diǎn)Q.

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),求證:直線PQ與圓相切；

(Ⅲ)試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時(shí)(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明；若不是,請說明理由.

Answer 1

解析:

(Ⅰ)因?yàn)?img width=101 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/106/133506.gif" >,所以c=1          則b=1,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為    

(Ⅱ)因?yàn)?img width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/109/133509.gif" >(1,1),所以,所以,所以直線OQ的方程為y=－2x 

又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=－2,所以點(diǎn)Q(－2,4)            

所以,又,所以,即,   

故直線與圓相切   

(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí),直線與圓保持相切   

證明:設(shè)(),則,所以,,

所以直線OQ的方程為                  

所以點(diǎn)Q(－2,)                            

所以,又,

所以,即,故直線始終與圓相切