Question

若四位數(shù)的各位數(shù)碼中，任三個(gè)數(shù)碼皆可構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱(chēng)為四位三角形數(shù)，試求所有四位三角形數(shù)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

全部四位三角形數(shù)的個(gè)數(shù)為1681個(gè)

解析:

稱(chēng)為的數(shù)碼組，則；

一、當(dāng)數(shù)碼組只含一個(gè)值，為，共得個(gè)值；

二、當(dāng)數(shù)碼組恰含二個(gè)值，．

、數(shù)碼組為型，則任取三個(gè)數(shù)碼皆可構(gòu)成三角形，對(duì)于每個(gè)

，可取個(gè)值，則數(shù)碼組個(gè)數(shù)為，對(duì)于每組，

有種占位方式，于是這種有個(gè)．

、數(shù)碼組為型，，據(jù)構(gòu)成三角形條件，有，

的取值	1	2	3	4	5	6	7	8	9
中的個(gè)數(shù)

共得個(gè)數(shù)碼組，對(duì)于每組，有種占位方式，于是這種有個(gè)．

、數(shù)碼組為型，，據(jù)構(gòu)成三角形條件，有，同上得個(gè)數(shù)碼組，對(duì)于每組，兩個(gè)有種占位方式，于是這種有個(gè)．

以上共計(jì)個(gè)．

三、當(dāng)數(shù)碼組恰含三個(gè)值，．

、數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，則有，這種有組，每組中有種占位方式，于是這種有個(gè)．

、數(shù)碼組為型，，此條件等價(jià)于中取三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成三角形的方法數(shù)，有組，每組中有種占位方式，于是這種有個(gè)．

、數(shù)碼組為型，，同情況，有個(gè)值．

以上共計(jì)個(gè)值．

　　四、互不相同，則有，這種有組，每組有個(gè)排法，共得個(gè)值．

綜上，全部四位三角形數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)．