Question

已知二次函數(shù)g（x）對任意實數(shù)x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令f(x)=g(x+

1

2

)+mlnx+

9

8

(m∈R，x＞0)．
（1）求g（x）的表達式；
（2）若?x＞0使f（x）≤0成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：對?x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

分析：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c，根據(jù)g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1直接可得答案．
（2）表示出函數(shù)f（x）的解析式，對m進行大于0、小于、和等于0進行分析可得答案．
（3）先根據(jù)H（x）的導(dǎo)數(shù)小于等于0判斷出H（x）單調(diào)遞減的，只要證明|H（m）-H（1）|＜1即可．

解答：解：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，所以

a= 1 2 c=-1

又g（1）=-1，則b=-

1

2

．所以g(x)=

1

2

x2-

1

2

x-1．

（2）f(x)=g(x+

1

2

)+mlnx+

9

8

=

1

2

x2+mlnx(m∈R，x＞0)．
當m＞0時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域為R；
當m=0時，f(x)=

x2

2

＞0對?x＞0，f（x）＞0恒成立；
當m＜0時，由f′(x)=x+

m

x

=0?x=

-m

，
列表：
這時，[f(x)]min=f(

-m

)=-

m

2

+mln

-m

．[f(x)]min＞0?

- m 2 +mln -m ＞0 m＜0

?-e＜m＜0．
所以若?x＞0，f（x）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-e，0）．
故?x＞0使f（x）≤0成立，實數(shù)m的取值范圍（-e，0）∪（0，+∞）．

（3）因為對?x∈[1，m]，H′(x)=

(x-1)(x-m)

x

≤0，所以H（x）在[1，m]內(nèi)單調(diào)遞減．
于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=

1

2

m2-mlnm-

1

2

．|H(x1)-H(x2)|＜1?

1

2

m2-mlnm-

1

2

＜1?

1

2

m-lnm-

3

2m

＜0．
記h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

(1＜m≤e)，
則h′(m)=

1

2

-

1

m

+

3

2m2

=

3

2

(

1

m

-

1

3

)2+

1

3

＞0，
所以函數(shù)h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

在（1，e]是單調(diào)增函數(shù)，
所以h(m)≤h(e)=

e

2

-1-

3

2e

=

(e-3)(e+1)

2e

＜0，故命題成立．

點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性的問題．