Question

設(shè)0＜θ＜

π

2

，曲線x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ-y²sinθ=1有4個(gè)不同的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓，并求圓半徑的取值范圍．

Answer 1

（I）兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）滿足方程組

x2sinθ+y2cosθ=1 x2cosθ-y2sinθ=1

即

x2=sinθ+cosθ y2=cosθ-sinθ.

有4個(gè)不同交點(diǎn)等價(jià)于x²＞0，且y²＞0，即

sinθ+cosθ＞0 cosθ-sinθ＞0.

又因?yàn)?span mathtag="math" >0＜θ＜

π

2

，所以得θ的取值范圍為（0，

π

4

)．
（II）證明：由（I）的推理知4個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）滿足方程x2+y2=2cosθ(0＜θ＜

π

4

)，
即得4個(gè)交點(diǎn)共圓，該圓的圓心在原點(diǎn)，半徑為r=

2cosθ

(0＜θ＜

π

4

)．
因?yàn)閏osθ在(0，

π

4

)上是減函數(shù)，所以由cos0=1，cos

π

4

=

2

2

，
知r的取值范圍是(

4	2

，

2

)．