Question

已知拋物線方程y²=mx（m∈R，且m≠0）．
（Ⅰ）若拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），求拋物線的方程；
（Ⅱ）若動圓M過A（2，0），且圓心M在該拋物線上運(yùn)動，E、F是圓M和y軸的交點(diǎn)，當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，|EF|是定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線系數(shù)間的關(guān)系即可求出拋物線的方程；
（Ⅱ）先把圓的方程用圓心坐標(biāo)寫出來，再讓x=0求出關(guān)于，E、F的坐標(biāo)和圓心坐標(biāo)之間的關(guān)系式，把|EF|的長用圓心坐標(biāo)和m表示出來．最后利用|EF|是定值求出m的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意：

p

2

=1．（2分）
∴p=2∴所求方程為y²=4x．（4分）
（Ⅱ）設(shè)動圓圓心為M（a，b），（其中a≥0），E、F的坐標(biāo)分別為（0，y₁），（0，y₂）
因?yàn)閳AM過（2，0），
故設(shè)圓的方程（x-a）²+（y-b）²=（a-2）²+b²（6分）
∵E、F是圓M和y軸的交點(diǎn)
∴令x=0得：y²-2by+4a-4=0（8分）
則y₁+y₂=2b，y₁•y₂=4a-4
|EF|=

(y1-y2)2

=

(y1+y2)2-4y1•y2

=

4b2-16a+16

（10分）
又∵圓心M（a，b）在拋物線y²=mx上
∴b²=ma（11分）
∴|EF|=

4ma-16a+16

=

4a(m-4)+16

．（12分）
∴當(dāng)m=4時(shí)，|EF|=4（定值）．（14分）

點(diǎn)評：一般在涉及到定值問題時(shí)，是讓于變化量無關(guān)的項(xiàng)恒為0．比如本題是讓m-4=0．