Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=

1

2

+log2

x

1-x

圖象上任意兩點(diǎn)，且

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

1

2

．
（1）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*且n≥2，
①求S_n；
②已知a_n=

2 3 ，n=1 1 (Sn+1)(Sn+1+1) ，n≥2

，其中n∈N^*，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若T_n≤λ（S_n+1+1）對(duì)一切n∈N^*都成立，試求λ的最小正整數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知M是AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出M點(diǎn)的給坐標(biāo)．
（2）①Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)，即 Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)以上兩式相加后兩邊再同時(shí)除以2就得到S_n．②當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件，由T_n＜λ（S_n+1+1）得

2n

n+2

＜λ•

n+2

2

，∴λ＞

4n

(n+2)2

=

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

，再由均值不等式求出λ的取值范圍．

解答：解：（1）依題意由

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)知M為線段AB的中點(diǎn)．
又∵M(jìn)的橫坐標(biāo)為

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即

x1+x2

2

=

1

2

?x1+x2=1
∴y1+y2=1+log2(

x1

1-x1

•

x2

1-x2

)=1+log21=1?

y1+y2

2

=

1

2

即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值

1

2

．
 （2）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2時(shí)Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)
∴Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+••+f(

1

n

)
兩式想加得，2S_n=n-1
Sn=

n-1

2

②當(dāng)n≥2時(shí)，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4（

1

n+1

-

1

n+2

）
又n=1時(shí)，a₁=

2

3

也適合．
∴a_n=4（

1

n+1

-

1

n+2

）                                                                                     
∴Tn=

4

2×3

+

4

3×4

++

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n+1

-

1

n+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)=

2n

n+2

(n∈N*)
由

2n

n+2

≤λ(

n

2

+1)恒成立(n∈N*)?λ≥

4n

n2+4n+4

而

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

≤

4

4+4

=

1

2

（當(dāng)且僅當(dāng)n=2取等號(hào)）
∴λ≥

1

2

，∴λ的最小正整數(shù)為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)、函數(shù)的圖象、不等式等綜合內(nèi)容，函數(shù)圖象成中心對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，考查相關(guān)方法，考查了數(shù)列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)的和，利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想解答熱點(diǎn)問題--有關(guān)恒成立問題．