Question

已知x＞0，y＞0．用分析法證明：(x2+y2)

1

2

＞(x3+y3)

1

3

．

Answer 1

分析：由x＞0，y＞0，知要證(x2+y2)

1

2

＞(x3+y3)

1

3

，只要證（x²+y²）³＞（x³+y³）²，即證3x²+3y²＞2xy就可以．

解答：證明：∵x＞0，y＞0．∴要證(x2+y2)

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2

＞(x3+y3)

1

3

．
只要證（x²+y²）³＞（x³+y³）²（4分）
即證3x²+3y²＞2xy（*）
∵3x²+3y²-2xy=2（x²+y²）+（x-y）²＞0
∴（*）成立．故原不等式成立．（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要注意利用分析法進(jìn)行證明．