Question

如圖已知在三棱柱ABC--A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分別是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABC₁∥平面MNQ；
（2）求證：平面PCC₁⊥平面MNQ．

Answer 1

分析：（1）欲證面平面ABC₁∥平面MNQ，只需證AB∥平面MNQ，而N，Q分別是BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)，易證NQ∥BC₁，根據(jù)平面與平面平行的判定定理即得結(jié)論；
（2）欲證平面PCC₁⊥平面MNQ，只需證MN⊥面PCC₁，而MN∥AB．易證AB⊥面PCC₁，根據(jù)兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與面垂直即可．

解答：證明：（1）∵N，Q分別是BB₁，B₁C₁的中點(diǎn)，
∴NQ∥BC₁（1分）
又∵NQ?平面MNQ，BC₁?平面MNQ，
∴BC₁∥平面MNQ（4分）
∵AB∥MN，MN?平面MNQ，AB?平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ．（5分）
又∵AB∩BC₁=B，
∴平面ABC₁∥平面MNQ．（7分）
（2）∵AC=BC，P是AB的中點(diǎn)，∴AB⊥PC  （8分）
∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，∴CC₁⊥面ABC，
而AB在平面ABC內(nèi)，∴CC₁⊥AB，（9分）
∵CC₁∩PC=C∴AB⊥面PCC₁；          （10分）
又∵M(jìn)、N分別是AA₁、BB₁的中點(diǎn)，四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC₁                           （12分）
∵M(jìn)N在平面MNQ內(nèi)，∴面PCC₁⊥面MNQ；   （14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．