Question

設(shè)是拋物線上相異兩點(diǎn)，到y(tǒng)軸的距離的積為且．

（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）過Q的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為R，與軸交點(diǎn)為T，且Q為線段RT的中點(diǎn)，試求弦PR長度的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）直線PQ垂直于x軸時|PR|取最小值.

【解析】

試題分析：（1）確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定的值.利用，可得，

再根據(jù)P、Q在拋物線上，得到，集合已知條件^，得4p²＝4，p=1．

（2）設(shè)直線PQ過點(diǎn)，且方程為，應(yīng)用聯(lián)立方程組

消去x得y² 2my 2a＝0，利用韋達(dá)定理，建立的方程組，確定得到，利用“弦長公式”求解.

試題解析： （1）∵　·＝0，則x₁x₂＋y₁y₂＝0，             1分

又P、Q在拋物線上，故y₁²＝2px₁，y₂²＝2px₂，故得

 ＋y₁y₂＝0， y₁y₂＝ 4p²

             3分

又|x₁x₂|＝4，故得4p²＝4，p=1．

所以拋物線的方程為:       5分

（2）設(shè)直線PQ過點(diǎn)E(a,0）且方程為x＝my＋a

聯(lián)立方程組

消去x得y² 2my 2a＝0

∴　      ①　                7分

設(shè)直線PR與x軸交于點(diǎn)M(b,0)，則可設(shè)直線PR方程為x＝ny＋b,并設(shè)R(x₃,y₃)，

同理可知   ②　　             9分

由①、②可得 

由題意，Q為線段RT的中點(diǎn)，∴　y₃＝2y₂，∴b=2a

又由（Ⅰ）知， y₁y₂＝ 4，代入①，可得

 2a＝ 4 　　∴　　a＝2．故b＝4．           11分

∴

∴.

當(dāng)n=0，即直線PQ垂直于x軸時|PR|取最小值          14分

考點(diǎn)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系.