Question

某自來水公司準備修建一條飲水渠，其橫截面為如圖所示的等腰梯形，∠ABC=120°，
按照設計要求，其橫截面面積為6

3

平方米，為了使建造的水渠用料最省，橫截面的周
長（梯形的底BC與兩腰長的和）必須最小，設水渠深h米．
（Ⅰ）當h為多少米時，用料最�。�
（Ⅱ）如果水渠的深度設計在[3，2

3

]的范圍內(nèi)，求橫截面周長的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用解直角三角形知識求橫截面的周長，再結(jié)合基本不等式求出周長面積的最小值即可；
（Ⅱ）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義探求（1）中周長函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合所給自變量的范圍即可求橫截面周長的最小值．

解答：解：（Ⅰ）6

3

=

1

2

(AD+BC)h，AD=BC+2×hcot60°=BC+

2 3

3

h，6

3

=

1

2

(2BC+

2 3

3

h)h，
使得BC=

6 3

h

-

3

3

h=

3

h+

6 3

h

≥6

2

．
設外周長為l，則l=2AB+BC=

2h

sin60°

+

6 3

h

-

3

3

h，
當

3

h=

6 3

h

，即h=

6

時等號成立，外周長的最小值為6

2

，此時堤高h為

6

米；（8分）

（Ⅱ）

3

h+

6 3

h

=

3

(h+

6

h

)，設3≤h1＜h2≤2

3

．
解h2+

6

h2

-h1-

6

h1

=(h2-h1)(1-

6

h1h2

)＞0，l是h的增函數(shù)，
所以lmin=

3

×3+

6 3

3

=5

3

（米），（當h=3時取得最小值）．（14分）

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、函數(shù)在實際問題中的應用等知識，屬于中檔題．