Question

已知直線l₀：x-y+2=0和圓C：x²+y²+4x-4y+4=0
（Ⅰ）若直線l₀交圓C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；
（Ⅱ）求過點(diǎn)P（-4，5）的圓的切線方程．

Answer 1

分析：（1）求出圓C的圓心和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式算出點(diǎn)C到直線l₀的距離d，再根據(jù)垂徑定理加以計(jì)算，可得弦AB的長度．
（2）當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，設(shè)方程為y-5=k（x+4），根據(jù)直線與圓C相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的方程，解出k=-

5

12

．而直線斜率不存在時(shí)，方程為x=-4，也是圓的一條切線，由此即可得到過點(diǎn)P的圓的兩條切線方程．

解答：解：（1）∵圓C：x²+y²+4x-4y+4=0，
∴圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x+2）²+（y-2）²=4，
可得圓心為C（-2，2），半徑r=2．
∵圓心到直線l₀：x-y+2=0的距離d=

|(-2)-2+2|

2

=

2

∴由垂徑定理，得|AB|=2

r2-d2

=2

2

…（6分）
（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=-4，
該直線是圓的一條切線，符合題意；
②當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，由直線經(jīng)過點(diǎn)（-4，5）設(shè)直線方程為y-5=k（x+4），
化簡得kx-y+4k+5=0．
∵直線與圓相切，∴圓心C到直線的距離為d'=r，
即

|-2k-2+4k+5|

k2+1

=2，解之得k=-

5

12

．
∴此時(shí)切線方程為y-5=-

5

12

（x+4），化簡得5x+12y-40=0．
綜上所述，所求切線有兩條：x=-4與5x+12y-40=0．

點(diǎn)評：本題求直線被圓截得的弦長，并求經(jīng)過定點(diǎn)的圓的切線方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、圓的性質(zhì)、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．