Question

（1）設(shè)x＜y＜0，試比較（x²+y²）（x-y）與（x²-y²）•（x+y）的大��；
（2）已知a，b，c∈{正實(shí)數(shù)}，且a²+b²=c²，當(dāng)n∈N，n＞2時(shí)，比較cⁿ與aⁿ+bⁿ的大小．

Answer 1

分析：（1）要求兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，可以對這兩個(gè)數(shù)作差，通過分解因式判斷差與零的關(guān)系，移項(xiàng)后可以得到兩個(gè)式子的大小關(guān)系．
（2）本題需比較的式子是冪的形式，因此考慮用作商比較，首先作商，再用分子中的每一項(xiàng)除以分母，得到兩個(gè)式子的和的形式，根據(jù)a²+b²=c²，兩邊同除以c²，根據(jù)底數(shù)的范圍得到指數(shù)的大小，從而得到結(jié)果．

解答：解：（1）首先把兩個(gè)要比較的式子做差，
（x²+y²）（x-y）-（x²-y²）（x+y）
=（x-y）[x²+y²-（x-y）²]
=-2xy（x-y）
∵x＜y＜0
∴xy＞0，x-y＜0，
∴-2xy（x-y）＞0
（x²+y²）（x-y）＞（x²-y²）•（x+y）
（2）∵a，b，c∈{正實(shí)數(shù)}，
∴aⁿ，bⁿ，cⁿ＞0，

an+bn

cn

= (

a

c

)n +(

b

c

)n
∵a²+b²=c²，則(

a

c

)2+(

b

c

)2=1
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1
∵n∈N，n＞2，
∴(

a

c

)n＜(

a

c

)2，(

b

c

)n＜(

b

c

)2，
∴

an+bn

cn

=(

a

c

)n+(

b

c

)n＜

a2+b2

c2

=1
∴cⁿ＞aⁿ+bⁿ

點(diǎn)評：本題考查不等式與不等關(guān)系，考查用比較法比較兩個(gè)式子的大小，若這兩個(gè)式子不知符號(hào)，一般要用做差法，若是冪的形式或因式的積的形式，一般采用作商法．