Question

如圖，沿等腰直角三角形ABC的中位線DE，將平面ADE折起（轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度），得到四棱錐A-BCDE，設(shè)CD、BE、AE、AD的中點(diǎn)分別為M、N、P、Q，平面ADE⊥平面BCDE．
（1）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求證：M、N、P、Q四點(diǎn)共面；
（3）求異面直線BE與MQ所成的角．

Answer 1

分析：（1）要證明兩個(gè)平面垂直，只需證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線即可，也就是只需證線面垂直即可，而要證線面垂直，只需證明這條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，這樣，一步步尋找成立的條件．
（2）要證四點(diǎn)共線，只需找到一個(gè)平面，是這四個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，用確定平面的方法，兩條平行線確定一個(gè)平面，即可證出．
（3）求異面直線所成角，先平移兩條異面直線中的一條，使它們成為相交直線，則相交直線所成角就是異面直線所成角或其補(bǔ)角，再放入三角形中計(jì)算即可．

解答：解：（1）證明∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE
AD?平面ADE，AD⊥DE
∴AD⊥平面BCDE
∵BC?平面BCDE∴AD⊥BC
又∵BC⊥DC，DC∩AD=D
∴BC⊥平面ACD，
∵BC?平面ABC
∴平面ABC⊥平面ACD
（2）證明：∵M(jìn)，N，P，Q分別為CD、BE、AE、AD的中點(diǎn)，
∴MN∥DE，PQ∥DE，
∴MN∥PQ，∴直線MN，PQ確定一個(gè)平面．
∴M、N、P、Q四點(diǎn)共面
（3）取BC中點(diǎn)K，連接DK，則DK∥BE，
取CK中點(diǎn)F，連接MF，則MF∥DK，
∴MF∥BE，∴∠QMP為異面直線BE，QM所成角或其補(bǔ)角．
設(shè)AC長為4，則QD=DM=MC=CF=1，
∵QD⊥DM，∴QM=

2

∵M(jìn)C⊥CF，∴MF=

2

連接QF，DF，在Rt△QDF中，QD=1，DF=

5

，∴QF=

6

在△QMF中，cos∠QMF=

QM2+MF2-QF

2QM•MF

=-

1

2

∴∠QMF=

2π

3

，∴異面直線BE與MQ所成的角為

π

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面垂直，四點(diǎn)共線，以及異面直線所成角的求法，是立體幾何中的常規(guī)題，應(yīng)當(dāng)掌握．