Question

正方體ABCD—EFGH的棱長為a，點P在AC上，Q在BG上，AP=BQ=a.

（1）求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值；

（2）求證：PQ⊥AD.

Answer 1

（1）解析:作PM⊥BC于M，連結(jié)QM，

∵AB⊥BC，∴PM∥AB，于是.∵AP=BQ，

∴GQ=CP.這樣可得.

∴QM∥GC.

∵GC⊥平面AC，

∴QM⊥平面AC.

∠QPM是PQ與平面AC所成的角，

QM=，

∴tan∠QPM=.

（2）證明:上面已證MP∥AB，QM∥GC，而AB⊥BC，QM⊥BC，

∴BC⊥MP，且BC⊥QM.

∴BC⊥平面PQM，因此BC⊥PQ.由AD∥BC可知PQ⊥AD.

小結(jié)：（1）中求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值的過程是“作、證、算”，即先作出∠QPM，然后再證明∠QPM是PQ與平面ABCD所成角，最后再計算其正切值.（2）中證PQ⊥AD，由于BC∥AD，于是就把證PQ⊥AD的問題轉(zhuǎn)化成了證明PQ⊥BC的問題.