Question

(本小題滿分14分)已知圓過(guò)點(diǎn), 且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為.
(1) 求圓的圓心的軌跡方程；
(2) 若, 求圓的方程.

Answer 1

(1) ；（2）

本題主要考查了利用圓的性質(zhì)求解點(diǎn)的軌跡方程及圓的方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟練 掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)
（1）設(shè)圓C的圓心為C（x，y），圓的半徑 r= x²+(y-a)²，由圓C在x軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為2a．可得|y|²+a²=r²，整理可求
（2）由∠MAN=45°可得∠MCN=90°，由（1）可知圓C的圓心為（x₀，y₀），則有x₀²=2ay₀（結(jié)合y0="1" ，2|MN|=a可求x₀，r，從而可求圓C的方程
解: (1)設(shè)圓的圓心為,
依題意圓的半徑    ……………… 2分
∵ 圓在軸上截得的弦的長(zhǎng)為.
∴   
故   ………………………… 4分
∴  
∴ 圓的圓心的軌跡方程為 ………………… 6分
（2）∵  , 
∴  ……………………… 9分
令圓的圓心為, 則有 () ,……… 10分
又 ∵  …………………… 11分
∴   ……………………… 12分
∴      ……………………… 13分
∴  圓的方程為  …………………14分