Question

（09年湖南師大附中月考文）(13分)

已知點(diǎn)在橢圓：上，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，滿足，．

(1)求橢圓的離心率；

(2)若橢圓的長軸長為6，過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)、，且（，且）。在軸上是否存在定點(diǎn)，使得．若存在，求出所有滿足這種條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解析：（1）令，．

由題意得：

又，所以，

所以…………………………………(4分)

（2）∵，∴，于是，

∴，

∴橢圓E的方程為…………………………………………………(5分)

從而，

設(shè)點(diǎn)M、N、G的坐標(biāo)依次為、、，

∵，∴，

∴………………………………………………………………(7分)．

又，

且，

∴

即得．  ………………………………………………(9分)

又，

故得．……………………………………………(*)(10分)

因不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，與橢圓：聯(lián)立得：

∵點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，

∴直線必與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

則由根與系數(shù)的關(guān)系，得

，，

代入（*）得

整理，得，即

∴存在這樣的定點(diǎn)滿足題設(shè)．…………………………………………(13分)