Question

已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中常數(shù)k＜0，且f（x）在區(qū)間[0，2]的表達(dá)式為f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值（用k表示）；
（2）寫出f（x）在區(qū)間[-3，2]上的表達(dá)式，并討論f（x）在[-3，2]上的單調(diào)性（不要求證明）；
（3）求出f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的自變量的取值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)區(qū)間[0，2]的表達(dá)式為f（x）=x（x-2），可得f（1）=-1，f（0.5），利用f（x）=kf（x+2），即可求得f（-1），f（2.5）的值；
（2）分段考慮，分以下情形：①當(dāng)-3≤x≤-2時(shí)，f（x）=k²（x+4）（x+2）；②當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f（x）=kx（x+2），從而可得結(jié)論；
（3）分類討論：f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最大值為3k²，此時(shí)x=-1；再分類討論，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由條件得，∵區(qū)間[0，2]的表達(dá)式為f（x）=x（x-2），∴f（1）=-1，f（0.5）=-

3

4

∵f（x）=kf（x+2），∴f（-1）=kf（1）=-k，f(2.5)=

1

k

f(0.5)=-

3

4k

（2）分段考慮，分以下情形：
情形一：當(dāng)-3≤x≤-2時(shí)，有1≤x+4≤2，∴f（x+4）=（x+4）（x+2）
由f（x）=kf（x+2），得f（x）=k²f（x+4），∴此時(shí)f（x）=k²（x+4）（x+2）
情形二：當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，有0＜x+2＜2，∴f（x+2）=（x+2）x，∴此時(shí)f（x）=kx（x+2）
綜上，f(x)=

k2(x+4)(x+2)  -3≤x≤-2 k x(x+2)-2＜x＜0 x (x-2)    0≤x≤2

∵k＜0，∴f（x）在[-3，-1]和[1，2]上是增函數(shù)，在[-1，1]上是減函數(shù)．
（3）由（2）中函數(shù)f（x）在[-3，2]上的單調(diào)性可知，f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最大值為3k²，此時(shí)x=-1
當(dāng)k＜-1時(shí)，f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值為-k²，此時(shí)x=-3
當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值為-1，此時(shí)x=1
當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最小值為-1，此時(shí)x=-3或x=1

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了換元的思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．