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        1. 如圖,現(xiàn)有一塊半徑為2m,圓心角為90°的扇形鐵皮AOB,欲從其中裁剪出一塊內(nèi)接五邊形
          ONPQR,使點(diǎn)P在AB弧上,點(diǎn)M,N分別在半徑OA和OB上,四邊形PMON是矩形,點(diǎn)Q在弧AP上,R點(diǎn)在線(xiàn)段AM上,四邊形PQRM是直角梯形.現(xiàn)有如下裁剪方案:先使矩形PMON的面積達(dá)到最大,在此前提下,再使直角梯形PQRM的面積也達(dá)到最大.
          (Ⅰ)設(shè)∠BOP=θ,當(dāng)矩形PMON的面積最大時(shí),求θ的值;
          (Ⅱ)求按這種裁剪方法的原材料利用率.
          分析:(Ⅰ)設(shè)∠BOP=θ,θ∈(0,
          π
          2
          )
          ,則PM=2cosθ,PN=2sinθ,從而SPMON=PM•PN=2sin2θ,由此可求當(dāng)矩形PMON的面積最大時(shí),θ的值;
          (Ⅱ)過(guò)Q點(diǎn)作QS⊥OB,垂足為S,連接OQ,設(shè)∠BOQ=α,α∈(
          π
          4
          ,
          π
          2
          )
          ,從而可得S梯形PQRM=
          1
          2
          (2cosα+
          2
          )
          (2sinα-
          2
          )
          =2sinαcosα+
          2
          (sinα-cosα)-1,利用換元法t=sinα-cosα=
          2
          sin(α-
          π
          4
          )
          ,可得S梯形PQRM=-t2 +
          2
          t
          =-(t-
          2
          2
          )
          2
          +
          1
          2
          ,從而可求直角梯形PQRM的面積的最大值,由此可求原材料利用率.
          解答:解:(Ⅰ)先求矩形PMON面積的最大值:
          設(shè)∠BOP=θ,θ∈(0,
          π
          2
          )
          ,則PM=2cosθ,PN=2sinθ,
          ∴SPMON=PM•PN=2sin2θ,
          ∴當(dāng)2θ=
          π
          2
          ,即θ=
          π
          4
          時(shí),Smax=2
          此時(shí),PM=MO=
          2
          ,θ=
          π
          4
            …6分
          (Ⅱ)過(guò)Q點(diǎn)作QS⊥OB,垂足為S,連接OQ,設(shè)∠BOQ=α,α∈(
          π
          4
          π
          2
          )

          在Rt△QOS中,有QS=2sinα,OS=2cosα,
          則RQ=2cosα,RM=2sinα-
          2

          S梯形PQRM=
          1
          2
          (2cosα+
          2
          )
          (2sinα-
          2
          )
          =2sinαcosα+
          2
          (sinα-cosα)-1                 …8分
          令t=sinα-cosα=
          2
          sin(α-
          π
          4
          )
          ,
          α∈(
          π
          4
          ,
          π
          2
          )
          ,∴t∈(0,1),
          此時(shí),2sinαcosα=1-t2,則S梯形PQRM=-t2 +
          2
          t
          =-(t-
          2
          2
          )
          2
          +
          1
          2
          ,
          當(dāng)t=
          2
          2
          時(shí),直角梯形PQRM的面積的最大值為
          1
          2
                          …10分
          ∴方案裁剪出內(nèi)接五邊形ONPQR的面積最大值為
          5
          2
          m2,即利用率=
          2+
          1
          2
          π
          =
          5
          …12分.
          點(diǎn)評(píng):本題考查利用三角知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是引入輔助角,構(gòu)建三角函數(shù)模型,利用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行解決,綜合性強(qiáng).
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          (本大題滿(mǎn)分13分)如圖,現(xiàn)有一塊半徑為2m,圓心角為的扇形鐵皮,欲從其中裁剪出一塊內(nèi)接五邊形,使點(diǎn)弧上,點(diǎn)分別在半徑上,四邊形是矩形,點(diǎn)在弧上,點(diǎn)在線(xiàn)段上,四邊形是直角梯形.現(xiàn)有如下裁剪方案:先使矩形的面積達(dá)到最大,在此前提下,再使直角梯形的面積也達(dá)到最大.

          (Ⅰ)設(shè),當(dāng)矩形的面積最大時(shí),求的值;

          (Ⅱ)求按這種裁剪方法的原材料利用率.

           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          如圖,現(xiàn)有一塊半徑為2m,圓心角為90°的扇形鐵皮AOB,欲從其中裁剪出一塊內(nèi)接五邊形
          ONPQR,使點(diǎn)P在AB弧上,點(diǎn)M,N分別在半徑OA和OB上,四邊形PMON是矩形,點(diǎn)Q在弧AP上,R點(diǎn)在線(xiàn)段AM上,四邊形PQRM是直角梯形.現(xiàn)有如下裁剪方案:先使矩形PMON的面積達(dá)到最大,在此前提下,再使直角梯形PQRM的面積也達(dá)到最大.
          (Ⅰ)設(shè)∠BOP=θ,當(dāng)矩形PMON的面積最大時(shí),求θ的值;
          (Ⅱ)求按這種裁剪方法的原材料利用率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年安徽省六安市舒城中學(xué)高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          如圖,現(xiàn)有一塊半徑為2m,圓心角為90°的扇形鐵皮AOB,欲從其中裁剪出一塊內(nèi)接五邊形
          ONPQR,使點(diǎn)P在AB弧上,點(diǎn)M,N分別在半徑OA和OB上,四邊形PMON是矩形,點(diǎn)Q在弧AP上,R點(diǎn)在線(xiàn)段AM上,四邊形PQRM是直角梯形.現(xiàn)有如下裁剪方案:先使矩形PMON的面積達(dá)到最大,在此前提下,再使直角梯形PQRM的面積也達(dá)到最大.
          (Ⅰ)設(shè)∠BOP=θ,當(dāng)矩形PMON的面積最大時(shí),求θ的值;
          (Ⅱ)求按這種裁剪方法的原材料利用率.

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